|
Hoewol't de wiskundige eigenskippen fan de goudene sneed al yn de âldheid bestudearre waarden, komt de term "goudene sneed" pas út de jierren 30 fan de [[19e ieu]].
kk homo
== Wiskunde ==
=== Euklides ===
[[Euklides fan Aleksandrje|Euklides]] hat oanjûn hoe't in [[linestik]] ferdield heart te wurden om de goudene sneed te krijen. Dy goudene sneed by it punt ''S'' yn it linestik ''AB'' is sa dat:
[[Ofbyld:Secció àuria - Golden section.png|350px|right]]
:<math>\frac{|AS|}{|SB|}=\frac{|AB|}{|AS|}.</math>
Foar de lingtes ''a'' en ''b'' fan de dielen betsjut dat:
:<math>\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}</math>
De ferhâlding <math>\tfrac{a}{b}</math> hjit it '''goudene getal''' en wurdt oantsjutten mei <math>\varphi</math>.
Dêrfoar jildt dus:
:<math>\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}</math>,
wat leidt tot de [[fjouwerkantsfergeliking]]
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1 </math>,
:<math>\varphi^2 - \varphi - 1 = 0</math>,
mei de [[posityf getal|positive]] oplossing
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887499\ldots</math>
Opmerking: útsein <math>\varphi</math> hat de fergeliking ek de negative oplossing <math>-\tfrac 1\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>.
=== Konstruksje mei passer en liniaal===
[[Ofbyld:Gulden_snede_02.jpg|right|350px|Meast ienfâldige konstruksje fan de goudene sneed]]
De ienfâldichste konstruksje fan de goudene sneed giet sa (sjoch ôfbyld):
* Tekenje in [[rjochthoekige trijehoek]] ABC mei de rjochthoeksiden AB fan lingte 1 en BC fan lingte 2. De hypotensa AC hat dan de lingte <math>\sqrt{5}</math>.
* Sirkelje út A wei it punt B om nei it punt D op de hypotenusa.
* Sirkelje út C wei it punt D om nei it punt E op BC. No is
:<math>EC = DC = \sqrt{5}-1</math>,
sadat
:<math>BE = 2 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}</math>. <br>
Dêrút folget:
:<math>BE \times BC = 6 - 2 \sqrt{5}=EC^2;</math>. <br>
dus:
:<math>\frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BC}</math>,
mei oare wurden: de side BC is ferdield neffens de goudene sneed.
=== Oare konstruksje mei passer en liniaal===
[[Ofbyld:Guldensnede_constructie.png|right|Oare konstruksje fan de goudene sneed mei passer en liniaal]]
* Konstruearje in fjouwerkant ABCD mei siden fan de lingte 2.
* Bepaal it midden E fan AB.
* Sirkelje út E wei it punt C om nei it punt G op it ferlingde fan AB.
Dan is B de goudene sneed yn it linestik AG. Ommers:
:<math>\frac{AG}{AB}=\frac{AE+EG}{AB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi</math>.
=== Goudene rjochthoeke ===
[[Ofbyld:Guldensnede.PNG|right|thumb|350 px|In goudene rjochthoeke, ûnderferdield yn in fjouwerkant en in lytsere goudene rjochthoeke]]. In '''goudene rjochthoeke''' is in rjochthoeke mei siden yn de ferhâlding fan it goudene getal: lingte : breedte = φ.
As de breedte ''a'' is en de lingte ''a'' + ''b'', dan jildt:
:<math>\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}</math>
As we yn de goudene rjochthoeke in fjouwerkant tekenje, mei ''a'' as side, is de lytsere rjochthoeke dy't oerbliuwt opnij in goudene rjochthoeke. Troch dit proses mei de hieltiten lytsere rjochthoeke te herjeljen ûntstiet in ''goudene spiraal''.
=== Wiskundige benaderingen ===
De wearde fan φ wurdt benadere troch de ferhâlding fan twa opienfolgjende getallen yn de [[rige fan Fibonacci]].
Om dit yn te sjen skriuwe wy φ as [[keatlingbreuk]] troch yn it rjochterlid fan de fergeliking φ = 1 + 1/φ, hieltiten φ troch 1 + 1/φ te ferfangen:
:<math>\varphi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}</math>
Dit komt, krektas yn de rige fan Fibonacci, mjitkundich del op, útgeande fan in willekeurige rjochthoeke, it steesoan in fjouwerkant oan de lange side fan de rjochthoeke tekenje, wêrtroch't φ hieltyd better benadere wurdt troch de ferhâldingen fan de siden fan de resultearjende totale rjochthoeke.
It goudene getal kin ek as [[keatlingwoartel]] útdrukt wurde:
:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}</math>
== Skiednis ==
| 