Gouden fyk: ferskil tusken ferzjes

Content deleted Content added
Mercy (oerlis | bydragen)
L Bewurkings fan "83.136.198.196" (oerlis) werom set ta de ferzje fan "Synthebot".
Rigel 7:
Hoewol't de wiskundige eigenskippen fan de goudene sneed al yn de âldheid bestudearre waarden, komt de term "goudene sneed" pas út de jierren 30 fan de [[19e ieu]].
 
== Wiskunde ==
kk homo
=== Euklides ===
[[Euklides fan Aleksandrje|Euklides]] hat oanjûn hoe't in [[linestik]] ferdield heart te wurden om de goudene sneed te krijen. Dy goudene sneed by it punt ''S'' yn it linestik ''AB'' is sa dat:
 
[[Ofbyld:Secció àuria - Golden section.png|350px|right]]
:<math>\frac{|AS|}{|SB|}=\frac{|AB|}{|AS|}.</math>
 
Foar de lingtes ''a'' en ''b'' fan de dielen betsjut dat:
 
:<math>\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}</math>
 
De ferhâlding <math>\tfrac{a}{b}</math> hjit it '''goudene getal''' en wurdt oantsjutten mei <math>\varphi</math>.
 
Dêrfoar jildt dus:
:<math>\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}</math>,
wat leidt tot de [[fjouwerkantsfergeliking]]
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1 </math>,
:<math>\varphi^2 - \varphi - 1 = 0</math>,
mei de [[posityf getal|positive]] oplossing
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887499\ldots</math>
 
Opmerking: útsein <math>\varphi</math> hat de fergeliking ek de negative oplossing <math>-\tfrac 1\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>.
 
=== Konstruksje mei passer en liniaal===
[[Ofbyld:Gulden_snede_02.jpg|right|350px|Meast ienfâldige konstruksje fan de goudene sneed]]
De ienfâldichste konstruksje fan de goudene sneed giet sa (sjoch ôfbyld):
* Tekenje in [[rjochthoekige trijehoek]] ABC mei de rjochthoeksiden AB fan lingte 1 en BC fan lingte 2. De hypotensa AC hat dan de lingte <math>\sqrt{5}</math>.
* Sirkelje út A wei it punt B om nei it punt D op de hypotenusa.
* Sirkelje út C wei it punt D om nei it punt E op BC. No is
:<math>EC = DC = \sqrt{5}-1</math>,
sadat
 
:<math>BE = 2 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}</math>. <br>
 
Dêrút folget:
:<math>BE \times BC = 6 - 2 \sqrt{5}=EC^2;</math>. <br>
dus:
:<math>\frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BC}</math>,
mei oare wurden: de side BC is ferdield neffens de goudene sneed.
 
=== Oare konstruksje mei passer en liniaal===
[[Ofbyld:Guldensnede_constructie.png|right|Oare konstruksje fan de goudene sneed mei passer en liniaal]]
 
* Konstruearje in fjouwerkant ABCD mei siden fan de lingte 2.
* Bepaal it midden E fan AB.
* Sirkelje út E wei it punt C om nei it punt G op it ferlingde fan AB.
Dan is B de goudene sneed yn it linestik AG. Ommers:
:<math>\frac{AG}{AB}=\frac{AE+EG}{AB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi</math>.
 
=== Goudene rjochthoeke ===
[[Ofbyld:Guldensnede.PNG|right|thumb|350 px|In goudene rjochthoeke, ûnderferdield yn in fjouwerkant en in lytsere goudene rjochthoeke]]. In '''goudene rjochthoeke''' is in rjochthoeke mei siden yn de ferhâlding fan it goudene getal: lingte : breedte = φ.
 
As de breedte ''a'' is en de lingte ''a'' + ''b'', dan jildt:
 
:<math>\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}</math>
 
As we yn de goudene rjochthoeke in fjouwerkant tekenje, mei ''a'' as side, is de lytsere rjochthoeke dy't oerbliuwt opnij in goudene rjochthoeke. Troch dit proses mei de hieltiten lytsere rjochthoeke te herjeljen ûntstiet in ''goudene spiraal''.
 
=== Wiskundige benaderingen ===
De wearde fan φ wurdt benadere troch de ferhâlding fan twa opienfolgjende getallen yn de [[rige fan Fibonacci]].
Om dit yn te sjen skriuwe wy φ as [[keatlingbreuk]] troch yn it rjochterlid fan de fergeliking φ = 1 + 1/φ, hieltiten φ troch 1 + 1/φ te ferfangen:
 
:<math>\varphi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}</math>
 
Dit komt, krektas yn de rige fan Fibonacci, mjitkundich del op, útgeande fan in willekeurige rjochthoeke, it steesoan in fjouwerkant oan de lange side fan de rjochthoeke tekenje, wêrtroch't φ hieltyd better benadere wurdt troch de ferhâldingen fan de siden fan de resultearjende totale rjochthoeke.
 
It goudene getal kin ek as [[keatlingwoartel]] útdrukt wurde:
 
:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}</math>
 
== Skiednis ==
Line 19 ⟶ 87:
 
[[Roger Penrose]] ûntdekte in patroan (de [[Penrose-betegeling]]) dat de goudene sneed brûkt yn it fjild fan [[net-periodike flakfolling]]en. Dit late ta nije ynsichten yn [[kwasikristal]]len.
 
=== Estetika===
It duorre oant de 19e ieu eardat de goudene sneed bûten it domein fan de wiskunde in bysûndere betsjutting takend waard.
De goudene sneed soe sûnt dy tiid neffens guons in yntrinsike skientme hawwe wêrtroch't dy ferhâlding in soad foarkomme soe yn klassike arsjitektuer, skilderkeunst en yn de libbene natoer. De Dútser [[Adolf Zeising]] publisearre yn 1854 bygelyks ''Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers''. Yn dat boek ferdigent hy de opfetting dat it ideale minsklike lichem folslein neffens de goudene sneedferhâlding opboud is. Ek de bylden dy't [[Phidias]] makke yn it [[Partenon]] wurde troch guont yn ferbân brocht mei de goudene sneed. De earste letter fan syn namme, de Grykske letter φ, waard dêrom troch [[Mark Barr]] brûkt om de goudene sneed oan te tsjutten.
 
De estetyske status fan de goudene sneed bliuwt omstriden. Earder as ± 1830 komt de goudene sneed net foar yn geskriften oer skilderkeunst of arsjitektuer en foar de bewearing dat de ferhâlding faak foarkomme soe of dat de minsk in ûnbewuste foarkar foar dizze ferhâlding hawwe soe, bestiet gjin wiskundich bewiis. It oardeel oft de goudene sneed op it mêd fan de estetika in bysûndere status takomt, bliuwt dêrmei ôfhinklik fan de yndividuele beskoger.
 
==== De Modulor ====
In arsjitektoanysk maatsysteem dat bewust gebrûk makket fan de goudene sneed is de [[Modulor]]. It systeem waard tusken 1942 en 1955 ûntwikkele troch de Switsersk-Frânske arsjitekt [[Le Corbusier]] en bestiet út twa rigen fan maten: de reade rige en de blauwe rige.
 
Foar de reade rige naam hy in maat fan 183 sm as útgongspunt -- neffens Le Corbusier de lingte fan it minsklik lichem. Troch dy maat hieltiten troch &phi; te dielen ûntstiet de rige 183, 113, 70, 43, 27...
 
Foar de blauwe rige die hy itselde mei in maat fan 226 sm -- de lingte fan it minsklik lichem mei útstutsen earm. Dy maat is teffens in ferdûbeling fan de 'nâlehichte' (113 sm) dy't ek al yn de reade rige stie: 226, 140, 86, 54 ...
 
In bekend foarbyld fan in op de Modulor basearre gebou is Le Corbusiers ''[[Unité d'Habitation]]'' ('wenienheid'): in "fertikale stêd" dêr't it earste eksimplaar fan yn 1947 yn [[Marseille]] boud waard. Letter folgen ferzjes yn [[Nantes]], [[Berlyn]], [[Briey]] en [[Firminy]].
 
== De goudene sneed yn de natoer ==