Gouden fyk

De gouden fyk is de ferdieling fan in linestik yn twa dielen yn in spesjale ferhâlding. By de gouden fyk ferhâldt it grutste fan de beide dielen him ta it lytste, lykas it hiele linestik him ferhâldt ta it grutste. Jouwe wy it grutste diel oan mei a en it lytste diel mei b, dan is de ferhâlding fan beide sa dat a : b = (a+b) : a.

De bedoelde ferhâlding a/b wurdt it goudene getal neamd en oantsjutten mei de Grykske φ (phi); lykas hjirûnder oantoand wurdt, jildt:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}62$

Hoewol't de wiskundige eigenskippen fan de gouden fyk al yn de âldheid bestudearre waarden, komt de term "goudene sneed" pas út de jierren 30 fan de 19e iuw.

Wiskunde

Euklides

Euklides hat oanjûn hoe't in linestik ferdield heart te wurden om de gouden fyk te krijen. Dy gouden fyk by it punt S yn it linestik AB is sa dat:

${\frac {|AS|}{|SB|}}={\frac {|AB|}{|AS|}}.$

Foar de lingtes a en b fan de dielen betsjut dat:

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

De ferhâlding ${\tfrac {a}{b}}$ hjit it goudene getal en wurdt oantsjutten mei $\varphi$.

Dêrfoar jildt dus:

$\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$,

wat liedt ta de fjouwerkantsfergeliking

$\varphi ^{2}=\varphi +1$,

$\varphi ^{2}-\varphi -1=0$,

mei de positive oplossing

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887499\ldots$

Opmerking: útsein $\varphi$ hat de fergeliking ek de negative oplossing $-{\tfrac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$.

Konstruksje mei passer en liniaal

Meast ienfâldige konstruksje fan de gouden fyk

De ienfâldichste konstruksje fan de goudene sneed giet sa (sjoch ôfbyld):

• Tekenje in rjochthoekige trijehoek ABC mei de rjochthoeksiden AB fan lingte 1 en BC fan lingte 2. De hypotensa AC hat dan de lingte ${\sqrt {5}}$.
• Sirkelje út A wei it punt B om nei it punt D op de hypotenusa.
• Sirkelje út C wei it punt D om nei it punt E op BC. No is

$EC=DC={\sqrt {5}}-1$,

sadat

$BE=2-({\sqrt {5}}-1)=3-{\sqrt {5}}$.

Dêrút folget:

$BE\times BC=6-2{\sqrt {5}}=EC^{2};$.

dus:

${\frac {BE}{EC}}={\frac {EC}{BC}}$,

mei oare wurden: de side BC is ferdield neffens de gouden fyk.

Oare konstruksje mei passer en liniaal

Oare konstruksje fan de gouden fyk mei passer en liniaal

• Konstruearje in fjouwerkant ABCD mei siden fan de lingte 2.
• Bepaal it midden E fan AB.
• Sirkelje út E wei it punt C om nei it punt G op it ferlingde fan AB.

Dan is B de goudene sneed yn it linestik AG. Ommers:

${\frac {AG}{AB}}={\frac {AE+EG}{AB}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$.

Goudene rjochthoeke

In goudene rjochthoeke, ûnderferdield yn in fjouwerkant en in lytsere goudene rjochthoeke

In goudene rjochthoeke is in rjochthoeke mei siden yn de ferhâlding fan it goudene getal: lingte : breedte = φ.

As de breedte a is en de lingte a + b, dan jildt:

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

As we yn de goudene rjochthoeke in fjouwerkant tekenje, mei a as side, is de lytsere rjochthoeke dy't oerbliuwt opnij in goudene rjochthoeke. Troch dit proses mei de hieltiten lytsere rjochthoeke te herjeljen ûntstiet in goudene spiraal.

Wiskundige benaderingen

De wearde fan φ wurdt benadere troch de ferhâlding fan twa opienfolgjende getallen yn de rige fan Fibonacci. Om dit yn te sjen skriuwe wy φ as keatlingbreuk troch yn it rjochterlid fan de fergeliking φ = 1 + 1/φ, hieltiten φ troch 1 + 1/φ te ferfangen:

$\varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{...}}}}}}}}$

Dit komt, krektas yn de rige fan Fibonacci, mjitkundich del op, útgeande fan in willekeurige rjochthoeke, it steesoan in fjouwerkant oan de lange side fan de rjochthoeke tekenje, wêrtroch't φ hieltyd better benadere wurdt troch de ferhâldingen fan de siden fan de resultearjende totale rjochthoeke.

It goudene getal kin ek as keatlingwoartel útdrukt wurde:

$\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}$

Skiednis

Wiskunde

De fjouwer lingtes yn dit symboal (oanjûn mei ferskillende kleuren) ferhâldingen ta elkoar binne de gouden fyk

Ferhannelingen oer de gouden fyk komme wy yn it earstoan allinnich op wiskundich mêd tsjin. De earste dy't der eksplisyt oer skreaun wie Euklides. Yn syn Eleminten jout hy de earst bekende definysje fan de gouden fyk, dy't hy oantsjutte as "ekstreme en gemiddelde ferhâlding". Syn ferhanneling oer it ûnderwerp waard yn 1509 út it ferjitboek helle troch de Italjaan Luca Pacioli. Yn De Divina Proportione neamt dizze de gouden fyk de "godlike ferhâlding".

Johannes Kepler beskreaun de gouden fyk as in "kostber juwiel": "De mjitkunde hat twa grutte skatten: de iene is de stelling fan Pytagoras, en de oare de ferdieling fan in line yn ekstreme en trochsneed ratio; de earste kinne wy fergelykje mei in stik goud, de twadde meie wy in kostber juwiel neame."

Martin Ohm wurdt fan tocht de earste te wêzen dy't de term gouden fyk brûkte om dizze ferhâlding te beskriuwen. Hy die dat om 1830 hinne.

Roger Penrose ûntdekte in patroan (de Penrose-betegeling) dat de gouden fyk brûkt yn it fjild fan net-periodike flakfollingen. Dit late ta nije ynsichten yn kwasikristallen.

Estetika

It duorre oant de 19e iuw eardat de gouden fyk bûten it domein fan de wiskunde in bysûndere betsjutting takend waard. De gouden fyk soe sûnt dy tiid neffens guons in yntrinsike skientme hawwe wêrtroch't dy ferhâlding in soad foarkomme soe yn klassike arsjitektuer, skilderkeunst en yn de libbene natoer. De Dútser Adolf Zeising publisearre yn 1854 bygelyks Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Yn dat boek ferdigent hy de opfetting dat it ideale minsklike lichem folslein neffens de gouden fykferhâlding opboud is. Ek de bylden dy't Phidias makke yn it Partenon wurde troch guont yn ferbân brocht mei de gouden fyk. De earste letter fan syn namme, de Grykske letter φ, waard dêrom troch Mark Barr brûkt om de gouden fyk oan te tsjutten.

De estetyske status fan de gouden fyk bliuwt omstriden. Earder as ± 1830 komt de gouden fyk net foar yn geskriften oer skilderkeunst of arsjitektuer en foar de bewearing dat de ferhâlding faak foarkomme soe of dat de minsk in ûnbewuste foarkar foar dizze ferhâlding hawwe soe, bestiet gjin wiskundich bewiis. It oardeel oft de gouden fyk op it mêd fan de estetika in bysûndere status takomt, bliuwt dêrmei ôfhinklik fan de yndividuele beskoger.

De Modulor

In arsjitektoanysk maatsysteem dat bewust gebrûk makket fan de gouden fyk is de Modulor. It systeem waard tusken 1942 en 1955 ûntwikkele troch de Switsersk-Frânske arsjitekt Le Corbusier en bestiet út twa rigen fan maten: de reade rige en de blauwe rige.

Foar de reade rige naam hy in maat fan 183 sm as útgongspunt -- neffens Le Corbusier de lingte fan it minsklik lichem. Troch dy maat hieltiten troch φ te dielen ûntstiet de rige 183, 113, 70, 43, 27...

Foar de blauwe rige die hy itselde mei in maat fan 226 sm -- de lingte fan it minsklik lichem mei útstutsen earm. Dy maat is teffens in ferdûbeling fan de 'nâlehichte' (113 sm) dy't ek al yn de reade rige stie: 226, 140, 86, 54 ...

In bekend foarbyld fan in op de Modulor basearre gebou is Le Corbusiers Unité d'Habitation ('wenienheid'): in "fertikale stêd" dêr't it earste eksimplaar fan yn 1947 yn Marseille boud waard. Letter folgen ferzjes yn Nantes, Berlyn, Briey en Firminy.

De goudene sneed yn de natoer

De lingte fan in grut blok mei in neistlizzend lytser blok is de gouden fyk, hjiryn is in logaritmyske spiraal tekene

De Fibonacci spiraal, basearre op de rige fan Fibonacci

Hoewol't wy gjin foarbylden kenne wêryn de gouden fyk as fuort sichtbere ferhâlding in bysûndere rôl yn de natoer spilet, komt hy wol op in yndirekte manier foar, nammentlik dêr wêr't wy de rige fan Fibonacci oantreffe. It kosjint fan twa op inoarfolgjende getallen út dy rige nadert, at wy de rige oant yn it ûneinige trochlûke, ta de goudenfykferhâlding.

Wichtige dielen fan blommen lykas blomblêdsjes, siedden en tsjelkblêden groeie út stikjes weefsel (primordia) dy't ûntsteane op fêste plakken. De hoeken tusken dy opinoarfolgjende primordia lizze om 137,5°. Dizze hoeke is krekt de hoeke dy't ûntstiet by ferdieling fan 360° mei de gouden fyk. Men neamt in hoeke fan 137,5°, of syn tsjinhinger 360°–137,5°=225,5°, dan ek wol de goudene hoeke. Ut ûndersyk hat bliken dien dat dit foar in tige effisjinte folling fan it flak soarget wêrtroch't de bledsjes maksimaal út elkoar steane en it measte sinneljocht opfange kinne. Sinneblompitten wurde ek sa ferdield en ek de spiraalfoarmige blêdgroei wurdt op dyselde wize oriïntearre.

Mytes

Der besteane ek in soad mytes oer de gouden fyk, in bekend foarbyld is de skulp fan de nautilus. Omdat it dier deselde skulp yn syn groeiproses meidraacht groeit dizze neffens in skaalmodel; it poppedier is om samar te sizzen in miniferzje fan it folwoeksen bist. Alle krollen fan de skulp binne lykfoarmich en in fergrutte of ferlytse ferzje fan de oare, wy kinne dit ienfâldich neigean troch in rjochte te lûken út it sintrum wei troch inkelde krollen. De hoeke tusken de raakline en de lutsen line is dan yn elk punt lyk. Wy neame sa'n spiraal ek in logaritmyske spiraal. At dizze spiraal makke wêze soe middels de goudene rjochthoeke bedraacht dizze hoeke 99,02°, spitigernôch mjit de hoeke by in Nautilus 107,04°, in misfetting dus.

Leonardo Da Vinci's stúdzje nei geometryske ferhâldings yn Divina Proportione

Sa besteane der noch folle mear mytes oer de gouden fyk yn de natoer, minsken wolle it getal mei alderhanne saken yn ferbân bringe en brûke faak lokrake mjittings of lûke linen mei grutte foutemarzjes. It minsklik antlit soe sasein ek it estetyske ideaal wêze as it opboud is mei de ferhâlding fan de gouden fyk. Ut ûndersyk hat ommers bliken dien dat de minsk, as op it op ûnderlinge ferhâlding oankomt, it meast gefoelich is foar symmetry. De Gouden Fyk ferhâlding docht lykwols altyd wol harmoanysk oan, en is dus in graach sjoen antlit.

Der binne in soad mytes om it godlike getal of de gouden fyk, sa soe it al yn ferbân brocht wêze mei in tal minsklike lichemsdielen, Egyptyske piramides, Grykske timpels, ensfh. Net allegear ûnwierheden, want by in bousel resultearret de goudene sneed automatysk by it konstruearjen fan in rjochthoekige trijehoek mei diminsjes a, b en c, wêrby't jilde moat ${\tfrac {c}{b}}={\tfrac {b}{a}}$. Hiel wol yn de keunst (sjoch ek by Daan Parmentier) en fotografy wurdt de gouden fyk faak bewust tapast om in keunstwurk estetysk moaier lykje te litten; oft sa'n wurk echt moaier is mei syn hoarizon op de Gouden fyk bliuwt lykwols de fraach.

Keppeling om utens

• Wikiwurdboek-side - gouden fyk

Literatuer

• Albert van der Schoot, De ûntstelling fan Pytagoras, Kok Agora, Kampen, 1998, ISBN|90-391-0754-8 Utjouwerij ir. C.J. Snijders,
• De Gulden Snede, Utjouwerij De Driehoek, Amsterdam, 1969
• De ûntstelling fan Pythagoras
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).